已知函数f（x）=x2-alnx在（1，2]是增函数，在（0，1）为减函数．
（1）求f（x）、g（x）的表达式；
（2）求证：当x＞0时，方程f（x）=g（x）+2有唯一解．
网友回答
解：（I），依题意f'（x）≥0，x∈（1，2]，即a≤2x2，x∈（1，2]．
∵上式恒成立，∴a≤2．①
又，依题意g'（x）≤0，x∈（0，1），即，x∈（0，1）．
∵上式恒成立，∴a≥2．②
由①②得a=2
∴
（II）由（I）可知，方程f（x）=g（x）+2，
设，
令h'（x）＞0，并由x＞0，得，解知x＞1
令h'（x）＜0，由x＞0，解得0＜x＜1
列表分析：
知h（x）在x=1处有一个最小值0
当x＞0且x≠1时，h（x）＞0，
∴h（x）=0在（0，+∝）上只有一个解．
即当x＞0时，方程f（x）=g（x）+2有唯一解
解析分析：（1）已知函数f（x）在（1，2]是增函数，g（x）在在（0，1）为减函数．则在（1，2]上f'（x）≥0恒成立，在（0，1）上g（x）≤0恒成立．
（2）由（1）不难给出方程f（x）=g（x）+2，然后构造函数，利用函数的单调性证明方程解的唯一性．
点评：利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f′（x）＞0（或f′（x）＜0）仅是f（x）在某个区间上为增函数（或减函数）的充分条件，在（a，b）内可导的函数f（x）在（a，b）上递增（或递减）的充要条件应是f′（x）≥0[或f′（x）≤0]，x∈（a，b）恒成立，且f′（x）在（a，b）的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数f（x）在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f′（x0）=0，甚至可以在无穷多个点处f′（x0）=0，只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间，因此，在已知函数f（x）是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令f′（x）≥0[或f′（x）≤0]恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解），然后检验参数的取值能否使f′（x）恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f′（x）不恒为0，则由f′（x）≥0[或f′（x）≤0]恒成立解出的参数的取值范围确定．