已知数列{an}满足an+an+1=2n+1（n∈N*），求证：数列{an}为等差数列的充要条件是a

网友回答

充分性：∵an+an+1=2n+1，
∴an+an+1=n+1+n，
即an+1-（n+1）=-（an-n），
若a1=1，则a2-（1+1）=-（a1-1）=0，
∴a2=2，以此类推得到an=n，
此时{an}为等差数列．
必要性：∵an+an+1=2n+1，
∴an+2+an+1=2n+3，
两式相减得an+2-an=2，
若数列{an}为等差数列，则an+2-an=2d，
即2d=2，∴d=1．
则an+an+1=2an+1=2n+1，
∴an=n，即a1=1成立．
综上数列{an}为等差数列的充要条件是a1=1．
======以下答案可供参考======
供参考答案1:
假设an为等差数列
an+a（n+1）=2n+1。。。。。。（1）
a（n-1）+an=2n-1。。。。。。（2）
（1）-（2）
d+d=2d=1即公差为1an=a1+(n-1)d
a(n+1)=ai+nd
an+a（n+1）=2n+1
即a1+(n-1)d+a1+nd=2n+1
2a1=2a1=1