设函数f（x）=x2+bx+c，且f（1）=-．
（1）求证：函数f（x）有两个零点．
（2）设x1、x2是函数f（x）的两个零点，求|x1-x2|的取值范围．
（3）求证：函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点．
网友回答
解：（1）证明：∵f（1）=1+b+c=-，∴b+c=-．
∴c=--b．
∴f（x）=x2+bx+c=x2+bx--b，
判别式△=b2-4（--b）=b2+4b+6
=（b+2）2+2＞0恒成立，故函数f（x）有两个零点
（2）若x1，x2是函数f（x）的两个零点，则x1，x2是方程f（x）=0的两根
∴x1+x2=-b，x1?x2=--b
∴|x1-x2|==≥
∴|x1-x2|的取值范围为[，+∞）
（3）f（0）=c，f（2）=4+2b+c，由（I）知b+c=-，∴f（2）=1-c．
（i）当c＞0时，有f（0）＞0，而f（1）=-＜0，故函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点，
故在区间（0，2）内至少有一个零点．
（ii）当c≤0时，f（1）＜0，f（0）=c≤0，f（2）=1-c＞0，∴函数f（x）在区间（1，2）内有一零点，
综合（i）（ii），可知函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点
解析分析：（1）由条件化简函数的解析式，求出函数的判别式，由判别式大于0恒成立得到函数f（x）有两个零点．
（2）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，则x1，x2是方程f（x）=0的两根，可求x1+x2及x1?x2的值，将|x1-x2|变形，用x1+x2及x1?x2的值表示，配方求出最小值，由题意知，式子无最大值．
（3）先求出2个端点的函数值f（0）、f（2），当c＞0时，有f（0）＞0，f（1）＜0，在区间（0，2）内至少有一个零点；当c≤0时，f（1）＜0，f（2）=1-c＞0，得函数f（x）在区间（1，2）内有一零点．
点评：本题考查函数的零点与方程根的关系，函数的零点就是函数f（x）=0的根；零点的判定方法是，函数在区间端点的函数值异号．