发布时间：2021-02-20 14:28:55
已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为，右焦点为F(1，0)，直线l经过点F，且与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）若P是椭圆上的一个动点，求|PO|2+|PF|2的最大值和最小值；
（III）当直线l绕点F转动时，试问：在x轴上是否存在定点S，使得?为常数?若存在，求出定点S的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）由题意可知，c=1，又e==，解得a=
所以b2=a2-c2=1
所以椭圆的方程为+ y2=1.
（II）设P(x0,y0),则，所以2=2 -.
所以|PO|2+|PF|2=++( x0-1)2+=( x0-1)2+2
因为x0∈[-,],所以
当x0= -时，|PO|2+|PF|2取得最大值(--1)2+2=5+2;
当x0= 1时，|PO|2+|PF|2取得最小值2.
（III）若直线l不垂直于x轴，可设l的方程为y=k(x-1)．
由
得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0.
△=16k4-4(1+2k2)(2k2-2)=8k2+8>0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
x1+ x2=，x1 x2=.
设S(t，0)，则=( x1-t,y1)，=( x2-t,y2),
=(x1-t)(x2-t)+ y1 y2
= x1 x2- t(x1+ x2)+ t 2+k2(x1-1)(x2-1)
=(1+ k2) x1 x2-( t +k2)( x1+ x2)+ t 2+k2
=(1+ k2)-( t +k2)+ t 2+k2
=
=
要使得=λ(λ为常数)，只要=λ，
即()k2 + (t2-2 -λ)=0. (*)
对于任意实数k，要使(*)式恒成立，只要
解得
若直线l垂直于x轴，其方程为x=1．
此时，直线l与椭圆两交点为A(1，)、B(1,一),
取点S(，0)，有=(-,),=(-,-),
=(-)×(-)+×(-)
==λ .
综上所述，过定点F(1，0)的动直线l与椭圆相交于A、B两点，当直线l绕点F转动时，存在定点S(，0)，使得=.