锐角△ABC中，AB＞AC，CD、BE分别是AB、AC边上的高，过D作BC的垂线交BE于F，交CA的延长线于P，过E作BC的垂线，交CD于G，交BA的延长线于Q，证明：BC、DE、FG三条直线相交于一点．
网友回答
解：证法1：设过D、E的垂线分别交BC于M、N，在Rt△BEC与Rt△BDC中，由射影定理得：CE2=CN?CB，BD2=BM?BC
∴又Rt△CNG∽Rt△CDB，Rt△BMF∽Rt△BEC，
∴
∴
在Rt△BEC与Rt△BDC中，由面积关系得：BE?CE=EN?BC，BD?CD=DM?BC
∴
由（1）（2）得：，∴F、G、T三点共线．
证法2：设CD、BE相交于点H，则H为△ABC的垂心，记DF、EG、AH与BC的交点分别为M、N、R∵DM∥AR∥EN
∴
由合比定理得：，∴．
证法3：在△ABC中，直线DET分别交BC、CA、AB于T、E、D，由梅涅劳斯定理得：
设CD、BE相交于点H，则H为△ABC的垂心，AH⊥BC
∵DF⊥BC、EG⊥BC∴AH∥DF∥EG
∴
由梅涅劳斯定理的逆定理得：F、G、T三点共线．
证法4：连接FT交EN于G’，易知
为了证明F、G、T三点共线，只需证明即可
∵
又
∴，
∵CD⊥AB、BE⊥CA，∴B、D、E、C四点共圆
∴∠ABE=∠ACD （2）
又，∴BDsin∠CBE=CEsin∠BCD（3）
将（2）（3）代入（1）得：，故F、G、T三点共线．
解析分析：此题由4种证法：证法1：设过D、E的垂线分别交BC于M、N，在Rt△BEC与Rt△BDC中，由射影定理得：CE2=CN?CB，BD2=BM?BC又Rt△CNG∽Rt△DCB，Rt△BMF∽Rt△BEC，在Rt△BEC与Rt△BDC中，由面积关系得：BE?CE=EN?BC，BD?CD=DM?BC．由（1）（2）得证法2：设CD、BE相交于点H，则H为△ABC的垂心，记DF、EG、AH与BC的交点分别为M、N、R∵DM∥AR∥EN，由合比定理得三点共线，证法3：在△ABC中，直线DET分别交BC、CA、AB于T、E、D，由梅涅劳斯定理得：设CD、BE相交于点H，则H为△ABC的垂心，AH⊥BC，由梅涅劳斯定理的逆定理得：F、G、T三点共线．证法4：连接FT交EN于G’，易知为了证明F、G、T三点共线，只需证明即可．
点评：此题考查学生对相似三角形的判定与性质，三角形的面积，射影定理的理解和掌握，此题解法由4种，用到的定理较多，如果要求把这几种解法都写出来，难度较大，那就是一道难题了．