如图，抛物线y=ax2+bx-过点A（-1，0）、B（5，0）．直线y=-x-1交抛物线的对称轴于点M，点P为线段AM上一点，过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q，过点P

网友回答

解：（1）把A（-1，0），B（5，0）代入y=ax2+bx-中，得
，
解得：，
∴a=，b=-2；

（2）由（1）可知a=，b=-2，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-，
∴抛物线的对称轴为x=2，
∵点P的横坐标为m，
∴P的坐标为（m，-m-1），（-1≤m≤2），
∵PQ∥y轴，
∴点Q横坐标为m，
∴Q点的坐标为（m，m2-2m-），
∴PQ=-m-1-（m2-2m-）=-m2+m+=-（m-1）2+2，
∴当m=1时，PQ的最大值为2；

（3）由（2）可知PQ=-m-1-（m2-2m-）=-m2+m+=-（m-1）2+2，
∴PQ随m的增大而减小时m的取值范围是1≤m≤2；
（4）设MN于x轴的 交点为G，则G的坐标为（2，0），
∵M（2，-3），
∴MG=3，AG=3，
∴MG=AG，
∴∠BAM=∠AMG=45°，
∵PQ∥y轴，MN是对称轴，
∴PQ∥MN，
有∵PN∥QM，
∴四边形PQMN是平行四边形，
当PN⊥MN，四边形PQMN是矩形，又∵∠BAM=45°，
∴四边形PQMN是正方形，
∴Q点的纵坐标是-3，即m2-2m-=-3，
解得：m1=2-，m2=2+（不合题意舍去），
∴m的值是2-．
解析分析：（1）把点A和B的坐标代入抛物线解析式，计算即可求出a、b的值；
（2）根据已知条件可设P的坐标为（m，-m-1），（-1≤m≤2），因为PQ∥y轴，所以点Q横坐标为m，又因为Q在抛物线上，所以Q点的坐标为（m，m2-2m-），所以
PQ=-m-1-（m2-2m-）=-m2+m+=-（m-1）2+2，利用函数的性质即可求出PQ的最大值；
（3）根据线段PQ的表达式转化为顶点式解析式，利用二次函数的增减性解答即可；
（4）设MN于x轴的 交点为G，则G的坐标为（2，0），首先证明四边形PQMN是平行四边形，当PN⊥MN，四边形PQMN是矩形，又因为∠BAM=45°，所以四边形PQMN是正方形，再求出Q的纵坐标为-3，即m2-2m-=-3，解方程即可求出符合题意的m值．

点评：本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的对边平行且相等的性质，二次函数的最值问题，二次函数的增减性，综合性较强，但难度不大，把点C的坐标代入函数解析式求出b、c的值是解题的关键，也是本题的突破口．