卡方分布的方差为2n 如何证明?

网友回答

设X服从N(0,1),我们计算D(X^2),即证明 D(卡方(1))=2
(1)用平方关系来算,D(X^2)=E(X^4)-[E(X^2)]^2
得先算 E(X^4)
设f(x)是N (0,1)的密度函数,求 E(X^4),
∫x^4*f(x)dx=∫x^3 *xf(x)dx ,因为xf(x)的原函数恰是 -f(x)
分部积分∫x^3 *xf(x)dx=-x^3*f(x)+∫f(x)*3x^2dx=-x^3*f(x)+3∫x^2f(x)dx
再次使用分部积分,所以∫x^2f(x)dx=∫x* xf(x)dx=-xf(x)+∫f(x)dx
综合得到∫x^4*f(x)dx=-x^3*f(x)+3[-xf(x)+∫f(x)dx]=-x^3*f(x)-3xf(x)+3∫f(x)dx
所以代入上下限,得到∫x^4*f(x)dx=3
因为E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2=1
所以D(X^2)=E(X^4)-[E(X^2)]^2=3-1=2