如图，已知AB是⊙O的弦，C是⊙O上的一个动点，连接AC、BC，∠C=60°，⊙O的半径为2，则△ABC面积的最大值是A.B.C.D.

网友回答

A

解析分析：过C作CM⊥AB于M，要使△ACB的面积最大，只要CM取最大值即可，画出CM，求出等边三角形ABC，求出AB和CM，关键三角形的面积公式求出即可．

解答：过C作CM⊥AB于M，∵弦AB已确定，∴要使△ACB的面积最大，只要CM取最大值即可，如图所示，当CM过圆心O时，CM最大，∵CM⊥AB，CM过O，∴AM=BM（垂径定理），∴AC=BC，∵∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角形，设AB=BC=AC=a，则AM=BM=a，由勾股定理得：CM=a，在Rt△OBM中，OB=2，OM=a-2，bm=a，由勾股定理得：（a-2）2+（a）2=22，a=2，即AB=2，CM=3，则△ABC的面积是×AB×CM=×2×3=3，故选A．

点评：本题考查了等边三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，垂径定理等等知识点的综合运用．