定义函数fn(x)=(1+x)n-1(x＞-2.n∈N*)其导函数记为f′n(x)．(Ⅰ)

发布时间：2021-02-19 16:23:15

定义函数fn(x)=(1+x)n-1(x＞-2，n∈N*)其导函数记为f′
n
(x)．
（Ⅰ）求y=fn（x）-nx的单调递增区间；
（Ⅱ）若f′
n
(x0)f′
n+1
(x0)=fn(1)fn+1(1)，求证：0＜x0＜1；
（Ⅲ）设函数φ（x）=f3（x）-f2（x），数列{ak}前k项和为Sk，2kSk=φ（k-1）+2kak，其中a1=1．对于给定的正整数n（n≥2），数列{bn}满足ak+1bk+1=（k-n）bk（k=1，2…，n-1），且b1=1，求b1+b2+…+bn．

网友回答

答案:分析：（Ⅰ）构建新函数g（x）=（1+x）n-1-nx，求导函数，由导数大于0，可得y=fn（x）-nx的单调递增区间；
（Ⅱ）根据g（x）在（-2，0）上递减，在（0，+∞）上递增，可得g（x）≥g（0）=0，由
fn′(x0)
fn+1′(x0)
=
fn(1)
fn+1(1)
，求得x0=
(n-1)2n+1
(n+1)(2n-1)
，进而可得结论；
（Ⅲ）由2kSk=φ（k-1）+2kak，可得2Sk=（k-1）k+2ak，再写一式，两式相减，确定数列{an}的通项，再根据ak+1bk+1=（k-n）bk，可得（k+1）bk+1-kbk=-nbk，从而利用叠加法，可得结论．
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