已知点P在线段AB上,点O在线段AB延长线上.以点O为圆心,OP为半径作圆,点C是圆O上的一点.(1)如图,如果AP=2PB,PB=BO.求证:△CAO∽△BCO;(

发布时间:2020-08-07 23:59:11

已知点P在线段AB上,点O在线段AB延长线上.以点O为圆心,OP为半径作圆,点C是圆O上的一点.
(1)如图,如果AP=2PB,PB=BO.求证:△CAO∽△BCO;
(2)如果AP=m(m是常数,且m>1),BP=1,OP是OA,OB的比例中项.当点C在圆O上运动时,求AC:BC的值(结果用含m的式子表示);
(3)在(2)的条件下,讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系,并写出相应m的取值范围.

网友回答

(1)证明:∵AP=2PB=PB+BO=PO,
∴AO=2PO.
∴=2.
∵PO=CO,
∴.
∵∠COA=∠BOC,
∴△CAO∽△BCO.

(2)解:设OP=x,则OB=x-1,OA=x+m,
∵OP是OA,OB的比例中项,
∴x2=(x-1)(x+m).
∴x=.
即OP=.
∴OB=.
∵OP是OA,OB的比例中项,即,
∵OP=OC,
∴.
设⊙O与线段AB的延长线相交于点Q,当点C与点P,点Q不重合时,
∵∠AOC=∠COB,
∴△CAO∽△BCO.
∴.
∴.
当点C与点P或点Q重合时,可得,
∴当点C在圆O上运动时,AC:BC=m.

(3)解:由(2)得,AC>BC,且AC-BC=(m-1)BC(m>1),AC+BC=(m+1)BC,
⊙B和⊙C的圆心距d=BC,
显然BC<(m+1)BC,∴⊙B和⊙C的位置关系只可能相交、内切或内含.
当⊙B与⊙C相交时,(m-1)BC<BC<(m+1)BC,得0<m<2,
∵m>1,
∴1<m<2;
当⊙B与⊙C内切时,(m-1)BC=BC,得m=2;
当⊙B与⊙C内含时,BC<(m-1)BC,得m>2.
解析分析:(1)根据夹角相等,对应边成比例可证
(2)OP是OA,OB的比例中项,OC=OP,△CAO∽△BCO可得.
(3)讨论相交,内切,内含与⊙B与⊙C的圆心距的关系.

点评:考查相似三角形的判定和性质,掌握圆与圆的位置的各种情况.
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