已知函数f(x)满足下列条件:(1)函数f(x)定义域为[0,1];(2)对于任意x∈[0,1],f(x)≥0,且f(0)=0,f(1)=1;(3)对于满足条件x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1的任意两个数x1,x2,有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).
(Ⅰ)证明:对于任意的0≤x≤y≤1,有f(x)≤f(y);
(Ⅱ)证明:对于任意的0≤x≤1,有f(x)≤2x;
(Ⅲ)不等式f(x)≤1.9x对于一切x∈[0,1]都成立吗?
网友回答
解:(Ⅰ)证明:对于任意的0≤x≤y≤1,
则0≤y-x≤1,∴f(y-x)≥0.
∴f(y)=f(y-x+x)≥f(y-x)+f(x)≥f(x).
∴对于任意的0≤x≤y≤1,有f(x)≤f(y).
(Ⅱ)由已知条件可得f(2x)≥f(x)+f(x)=2f(x),
∴当x=0时,f(0)=0≤2×0,
∴当x=0时,f(x)≤2x.
假设存在x0∈(0,1],使得f(x0)>2x0,
则x0一定在某个区间上.
设,
则f(2x0)>4x0,f(4x0)>8x0,┅,f(2k-1x0)>2kx0.
由;
可知,且2kx0>1,
∴f(2k-1x0)≤f(1)=1,
又f(2k-1x0)>2kx0>1.
从而得到矛盾,因此不存在x0∈(0,1],使得f(x0)>2x0.
∴对于任意的0≤x≤1,有f(x)≤2x.
(Ⅲ)取函数
则f(x)显然满足题目中的(1),(2)两个条件.
任意取两个数x1,x2,使得x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,
若,
则f(x1+x2)≥0=f(x1)+f(x2).
若x1,x2分别属于区间和中一个,
则f(x1+x2)=1=f(x1)+f(x2),
而x1,x2不可能都属于.
综上可知,f(x)满足题目中的三个条件.
而f(0.51)=1>1.9×0.51=0.969.
即不等式f(x)≤1.9x并不对所有x∈[0,1]都成立.
解析分析:(I)欲证对于任意的0≤x≤y≤1,有f(x)≤f(y),将y写成y-x+x,利用f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)进行放缩即得.
(II)欲证明证明:对于任意的0≤x≤1,有f(x)≤2x,利用反证法,先假设存在x0∈(0,1],使得f(x0)>2x0,通过推出矛盾,从而得出假设不成立而得证;
(III)先取函数验证此函数符合题目中的(1),(2),(3)两个条件,但是f(0.51)=1>1.9×0.51=0.969.从而不等式f(x)≤1.9x并不对所有x∈[0,1]都成立.
点评:本题主要考查了抽象函数及其应用,考查分析问题和解决问题的能力,属于中档题.