如图，ABCD为圆内接四边形，过AB上一点M，引MP，MQ，MR分别垂直于BC，CD，AD，连接PR，MQ相交于N，求证：．

网友回答

证明：∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠RAM=180°-∠C，∠PBM=180°-∠D（圆内接四边形的对角互补）
∵MR⊥AD、MQ⊥CD，
∴M、R、D、Q四点共圆，
∴∠RMN=180°-∠D；
∵MP⊥BC、MQ⊥CD，
∴M、P、C、Q四点共圆，
∴∠PMN=180°-∠C，
△RMN中使用正弦定理：=
△PMN中使用正弦定理：=
∵sin∠RNM=sin∠PNM，
∴==
∴PM=MB×sin∠PBM=MB×sin∠D，RM=MA×sin∠RAM=MA×sin∠C，
∴===，
∴．
解析分析：先根据A、B、C、D四点共圆，可得出M、R、D、Q四点共圆，M、P、C、Q四点共圆，再在△RMN及△PMN中利用余弦定理即可得出PN、NR、BM、MA的关系式，进而可得出结论．

点评：本题考查的是四点共圆问题、余弦及正弦定理，难度较大．