在矩形ABCD中，E是BC边上的动点（点E不与端点B、C重合），以AE为边，在直线BC的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上，连接AC、FC，并过点F作FH

网友回答

解：（1）①证明：当AB=BC时，矩形ABCD是正方形．
∴AB=AD时，∠ABE=∠ADG=90°．
∵∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠BAD-∠EAD=∠EAG-∠EAD，
∴∠BAE=∠DAG，
∴△ABE≌△ADG． 已知条件
∴AE=AG．
∴矩形AEFG是正方形．
②猜想：AC⊥FC．?
证明：∵矩形AEFG是正方形，
∴AE=EF，∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEH=90°．
又∵∠AEB+∠EAB=90°，
∴∠EAB=∠FEH．
∵∠ABE=∠EHF=90°，
∴△AEB≌△EFH．
∴BE=HF，AB=EH．
∴BC=EH，∴BE=CH，
∴HF=CH．∴∠FCH=45°．
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠ACB=45°．
∴∠ACF=90°，
∴AC⊥FC．

（2）当AB≠BC时，AC⊥FC仍然成立．?
证明：由（1）可知：∠EAB=∠FEH，∠ABE=∠EHF，
∴△AEB∽△EFH，
∴=．
易证△AGD≌△EFH．
∴AD=EH，DG=HF．
∵AD=BC，
∴BC=EH，
∴BE=CH．
∴=，
即=．
∵∠CHF=∠ABC=90°，
∴△CHF∽△ABC，
∴∠HCF=∠BAC．??
∵∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠HCF+∠ACB=90°，
∴∠ACF=90°，
∴AC⊥FC．
解析分析：（1）①由已知条件可先判定四边形AEFG为矩形，再根据邻边相等（AB=BC）的矩形为正方形即可判定四边形AEFG为正方形；
②由①可知AE=EF，∠AEF=90°，再由已知条件判定△AEB≌△EFH，进而证明∠ACF=90°，即AC⊥FC；
（2）当AB≠BC时，AC⊥FC仍然成立，首先判定△AEB∽△EFH，再判定△CHF∽△ABC，利用相似三角形的性质：对应角相等即可证明AC⊥FC．

点评：本题考查了矩形的判定方法、正方形的判定方法以及相似三角形的判定和相似三角形的性质，题目综合性很强，难度不小．