如图，在正方形ABCD中，E是BC上一点，且BC：EC=4：1，F是DC的中点．（1）判断△AEF的形状，并说明理由；（2）若正方形的边长为4，求△AEF的面积．

网友回答

解：（1）△AEF是直角三角形．
理由如下：设正方形的边长为4a，
∵F是DC的中点，
∴DF=CF=2a，
∵BC：EC=4：1，
∴EC=a，BE=4a-a=3a，
在Rt△ADF中，AF2=（4a）2+（2a）2=20a2，
在Rt△ECF中，EF2=（2a）2+a2=5a2，
在Rt△ABE中，AE2=（4a）2+（3a）2=25a2，
∴AF2+EF2=AE2，
∴△AEF是直角三角形；

（2）正方形的边长为4时，4a=4，a=1，
AF==2，
EF=，
△AEF的面积=AF?EF=×2×=5．
解析分析：（1）设正方形的边长为4a，表示出DF=CF以及EC、BE的长，然后根据勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2，再根据勾股定理逆定理判定△AEF是直角三角形；
（2）把（1）的4a换成4，然后求出AF、EF，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．

点评：本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，勾股定理逆定理的应用，用正方形的边长表示出△AEF的各边的平方是解题的关键．