函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件：①对任意的x∈R，有f（x）＞0；②对任意的x，y∈R，都有f（xy）=[f（x）]y；③．（Ⅰ）求f（0）的值；??（Ⅱ）

网友回答

解：（1）：（1）∵对任意x∈R，有f（x）＞0，
∴令x=0，y=2得：f（0）=[f（0）]2?f（0）=1；
（2）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则令x1=P1，x2=P2，故p1＜p2，
∵函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件：①对任意x∈R，有f（x）＞0；②对任意x，y∈R，有f（xy）=[f（x）]y；③
∴f（x1）-f（x2）=f（P1）-f（P2）=[f（）]P1-[f（）]P2＜0，
∴f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）是R上的单调增函数．
（3）∵解关于x的不等式：[f（x-2a）]（x+1）＞1=f（0），f（x）是（-∞，+∞）上的单调递增函数，
∴f（x-2a）x+1＞0，
∴f[（x-2a）（x+1）]=f（x-2a）x+1＞0，∵对任意的x∈R，有f（x）＞0；
∴（x-2a）（x+1）＞0，比较2a与-1的大小
当时，f（x）的解集为（-∞，-1）∪（-1，+∞）；
当时，即2a＞-1，f（x）的解集为（-∞，-1）∪（2a，+∞）；
当时，即2a＜-1，f（x）的解集为（-∞，2a）∪（-1，+∞）．
解析分析：（Ⅰ）可以令y=0，代入f（xy）=[f（x）]y，即可求得f（0）的值；
（Ⅱ）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，可令x1=P1，x2=P2，故p1＜p2，再判断f（x1）-f（x2）的符号，从而可证其单调性；，
（Ⅲ）根据f（x）是增函数，利用f（0）=1，代入不等式，再利用单调性进行求解；

点评：本题考查抽象函数及其应用，难点在于用单调函数的定义证明其单调递增时“任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则x1=P1，x2=P2，”这一步比较灵活需要学生的理解与应用，属于中档题．