如图,点A的坐标是(-2,0),点B的坐标是(6,0),点C在第一象限内且△OBC为等边三角形,直线BC交y轴于点D,过点A作直线AE⊥BD,垂足为E,交OC于点F.
(1)求直线BD的函数表达式;
(2)求线段OF的长;
(3)连接BF,OE,试判断线段BF和OE的数量关系,并说明理由.
网友回答
解:(1)∵△OBC是等边三角形,
∴∠OBC=60°,OC=BC=0B,
∵点B的坐标为(6,0),
∴OB=6,
在Rt△OBD中,∠OBC=60°,OB=6,
∴OD=OBtan∠OBC=6,
∴点D的坐标为(0,6),
设直线BD的解析式为y=kx+b,则可得,
解得:,
∴直线BD的函数解析式为y=-x+6.
(2)∵∠OCB=60°,∠CEF=90°,
∴∠CFE=30°,
∴∠AFO=30°(对顶角相等),
又∵∠OBC=60°,∠AEB=90°,
∴∠BAE=30°,
∴∠BAE=∠AFO,
∴OF=OA=2.
(3)连接BF,OE,如图所示:
∵A(-2,0),B(6,0),
∴AB=8,
在Rt△ABE中,∠ABE=60°,AB=8,
∴BE=ABcos∠ABE=4,
∴CE=BC-BE=2,
∴OF=CE=2,
在△COE和△OBF中,,
∴△COE≌△OBF(SAS),
∴OE=BF.
解析分析:(1)根据△OBC是等边三角形,可得∠OBC=60°,在Rt△PBD中,解得OD的长度,得出点D的坐标,利用待定系数法求出直线BD的解析式即可;
(2)分别求出∠BAE和∠AFO的度数,即可得出OF=OA=2.
(3)在Rt△ABE中,先求出BE,继而得出CE=OF,证明△COE≌△OBF,可得BF和OE的数量关系.
点评:本题考查了一次函数的综合,解答本题的关键是熟练掌握待定系数法及数形结合思想的运用,对于此类综合性较强的题目,要求同学们具有扎实的基本功,熟练掌握学过的性质定理及常见解题方法.