设α．β是方程x2-2kx+k+6=0的实根，则（α-1）2+（β-1）2的最小值是A.B.8C.14D.18

网友回答

B

解析分析：由题意可得△=4k2-4（k+6）≥0，解出k的范围，利用一元二次方程根与系数的关系求出α+β 和α?β 的值，把
（α-1）2+（β-1）2 化简变形为4-，再根据k的范围利用二次函数的性质求出它的最小值．


解答：∵α、β是方程x2-2kx+k+6=0的实根，∴△=4k2-4（k+6）≥0，
解得 k≤-2，或k≥3．
由一元二次方程根与系数的关系可得  α+β=2k，α?β=k+6．
故 （α-1）2+（β-1）2 =α2+β2-2（α+β）+2=（α+β）2-2（α+β）-2α?β+2
=4k2-2×2k-2（k+6）+2=4-．
故当k=3时，（α-1）2+（β-1）2 有最小值为8，
故选B．


点评：本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质的应用，属于基础题．