已知定义在R上的二次函数R（x）=ax2+bx（a＞0）是偶函数，函数f（x）=2lnx-R（x）．
（I）求f（x）的单调区间；??
（II）当a≤1时，若x0∈[1，2]，求f（x0）的最大值；
（III）若二次函数R（x）图象过（1，1）点，对于给定的函数f（x）图象上的点A（x1，y1），当x1=时，探求函数f（x）图象上是否存在点B（x2，y2）（x2＞1），使A、B连线平行于x轴，并说明理由．（参考数据：e=2.71828…）
网友回答
解：（I）∵定义在R上的二次函数R（x）=ax2+bx（a＞0）是偶函数，
∴函数的对称轴x==0，即b=0，
∴R（x）=ax2，
∴f（x）=2lnx-ax2的定义域为（0，+∞）
∴f′（x）=，
令f′（x）＞0，则0＜x＜
令f′（x）＜0，则x＞
∴f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）
（II）由（1）得f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）
∴x=是函数f（x）的极小值点
∵0＜a≤1
∴≥1
当≥2，即0＜a≤，f（x）在区间[1，2]上递增，则f（x0）的最大值为f（2）=2ln2-4a
当1≤＜2，即＜a≤1，则f（x0）的最大值为f（）=-lna-1
（III）∵二次函数R（x）图象过（1，1）点，则a=1
则f（x）=2lnx-x2（x＞0）
由（1）可知f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）
令g（x）=f（x）-f（）=2lnx-x2-（-2-）
由题意可知g（x）在（1，+∞）上必存在零点
又由g（x）单调性与f（x）相同，故g（x）在（1，+∞）上单调递减
g（1）=-1-（-2-）=1+＞0
g（e）=2-e2-（-2-）=4+-e2＜0
故存在点B使A、B连线平行于x轴
解析分析：（I）根据二次函数的图象和性质及偶函数的图象关于Y轴对称，可求出函数f（x）的解析式，进而利用导数法，可求出f（x）的单调区间；??
（II）由（I）中结论中函数f（x）的单调性，可得x=是函数f（x）的极小值点，对a分类讨论可得x0∈[1，2]，求f（x0）的最大值；
（III）由函数R（x）图象过（1，1）点，可求出a值，确定函数f（x）的解析式，构造函数g（x）=f（x）-f（），分析函数零点是否存在可得