已知:如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC的平分线交⊙O于点D,交⊙O的切线BF于点F,B为切点.求证:(1)BD平分∠CBF;(2)AB?BF=AF?CD.

发布时间:2020-08-13 11:29:20

已知:如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC的平分线交⊙O于点D,交⊙O的切线BF于点F,B为切点.求证:(1)BD平分∠CBF;(2)AB?BF=AF?CD.

网友回答

证明:(1)∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2,
∵BF切⊙O于点B,∴∠3=∠2,
∴∠3=∠1,
又∵∠2=∠4,
∴∠3=∠4,即BD平分∠CBF;

(2)在△DBF和△BAF中,
∵∠3=∠1,∠F=∠F,
∴△DBF∽△BAF,
∴即AB?BF=AF?BD
∵∠1=∠2,
∴BD=CD,
∴AB?BF=AF?CD.
解析分析:(1)由于AF是∠BAC的角平分线,那么∠1=∠2,利用弦切角定理可得∠1=∠3,利用同弧所对的圆周角相等,可得∠2=∠4,那么,可证∠3=∠4,即BD平分∠CBF;
(2)由于∠3=∠1,∠F=∠F,那么可证△DBF∽△BAF,再利用相似三角形的性质,可得相关比例线段AB:AF=BD:BF,又由于∠1=∠2,同圆里相等的圆周角所对的弧相等,而同圆里相等的弧所对的弦相等,从而BD=CD,等量代换,可得AB:AF=CD:BF,即AB?BF=AF?CD.


点评:本题利用了角平分线性质、弦切角定理、同弧所对的圆周角相等、相似三角形的判定和性质等知识.
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