关于黎曼函数请写出表达式,并且怎么样证明连续性.

网友回答

由于篇幅文字限制,不便于写数学式.
在台湾国立师范大学物理系有.抱歉
======以下答案可供参考======
供参考答案1:
https://zh.freeglossary./%E9%BB%8E%E6%9B%BC%CE%B6%E5%87%BD%E6%95%B8
https://cache.baidu./c?word=%C0%E8%3B%C2%FC%3B%BA%AF%CA%FD&url=http%3A//zh%2Efreeglossary%2E/%E9%BB%8E%E6%9B%BC%CE%B6%E5%87%BD%E6%95%B8&b=0&a=14&user=baidu
宇宙能量密度与黎曼ζ函数
林文隆国立台湾师范大学物理系
e-mail: wenlin2phy03.phy.ntnu.edu.tw
摘要宇宙之演化由宇宙能量密度来决定,当我们在计算相对论性粒子之能量密度时,总会伴随著出现黎曼ζ函数,其数值通常由查表得知.如此一来,对黎曼ζ函数并无深入了解且对所得结果较缺乏感觉.事实上宇宙能量密度之推导过程非常适合作为物理系高年级学生及研究生课外自学题材,其中串联著许多数学的方法及概念,包括无穷级数,黎曼ζ函数,傅立叶级数,复变函数,柏努利数,解析数论及混沌理论等.本文浅述其推导过程以供参考.
一,前言 今日宇宙之辐射(即相对论性粒子)由 2.728 K 之宇宙背景光子及三代 1.946 K 之微中子所构成.而处於热平衡状态之早期宇宙除了光子和微中子外尚有大量其他相对论性粒子,由於它们系处於热平衡状态,其能量密度 ρ 可表示成相空间分布函数 之积分(我们采用自然单位,即 )
(1)上式中 表粒子自旋之自由度, 为粒子之能量,即 . 分布函数则与粒子之自旋有关,自旋为整数之玻子(例如光子)
(2)自旋为半整数之费米子(例如微中子)则
(3)对相对论性粒子而言, , 故能量密度 ρ 可简化成
(4)上式中玻子用减号,费米子用加号.底下我们首先讨论玻子能量密度如何计算.令(自然单位), , 则 ρ 可改写为
(5)查表得方程式(5)中之积分式
(6) 故(相对论性玻子) (7)
二,宇宙能量密度与黎曼ζ函数
通常我们直接由查表得知 之数值,当我们深入探讨何以方程式(6)之定积分等於 时,将会发现这是一个非常有趣的数学问题.事实上它可表示成一个特殊的无穷级数称之为黎曼函数.首先将方程式(6)之分母展开
(8)连续利用部份积分得
(9) 故 (10)上式中ζ(4) 系 s = 4 之黎曼ζ函数ζ(s),其定义如下
, s >1 (11)上式定义中之无穷级数只有当 s > 1 时方为收敛.其近似值可由无穷级数前几项之和得到,例如由前十项之和即可得到ζ(4)之有效数值至第四位 ζ(4) =1.082….
当s为偶数时, ζ(s) 之精确值可利用傅立叶级数求得.以ζ(4)为例,我们首先在 之范围求出 及 之傅立叶级数
(12)(13)令 代入 之傅立叶级数即得
(14)再用 代入 之傅立叶级数得
(15)将ζ(2)值代入得 (16)
故 (17)之值亦可由下法快速求得.设函数之傅立叶级数为
(18)则 (19)上式在数学中称为帕斯维尔等式 (Parseval's identity), 在物理学则叫做能量定理 (energy theorem),因为其物理意义可解释为一个波之总能量等於其各傅立叶分量能量之和.令 并将其傅立叶级数展开之系数代入帕斯维尔等式得
(20)故 (21)三,黎曼ζ函数与白努利函数
黎曼ζ函数与白努利函数有密切关联,当 为偶数时, 之值亦可由白努利数求得.白努利函数 及白努利数 之