已知：关于x的方程x2+3x-m=0的两个实数根的平方和等于11．求证：关于x的方程（k-3）x2+kmx-m2+6m-4=0有实数根．

网友回答

解：设方程x2+3x-m=0的两根为x1，x2，则x1+x2=-3，x1?x2=-m，
∵x12+x22=11，
∴（x1+x2）2-2x1?x2=11，
∴9+2m=11，解得m=1，
且m=1，方程x2+3x-m=0有两个实数根，
∴m=1，
把m=1代入（k-3）x2+kmx-m2+6m-4=0得（k-3）x2+kx+1=0，
当k=3，方程变形为3x+1=0，解得x=-，
当k≠3，△=k2-4（k-3）=k2-4k+12=（k-2）2+8，
∵（k-2）2≥0，
∴（k-2）2+8＞0，
∴k≠3时，方程有两个不等实数根，
∴关于x的方程（k-3）x2+kmx-m2+6m-4=0有实数根．
解析分析：设方程x2+3x-m=0的两根为x1，x2，根据根与系数的关系得x1+x2=-3，x1?x2=-m，由x12+x22=11，变形得（x1+x2）2-2x1?x2=11，则9+2m=11，解得m=1，把m=1代入（k-3）x2+kmx-m2+6m-4=0得（k-3）x2+kx+1=0，讨论：当k=3，方程变形为3x+1=0，解得x=-；当k≠3，△=k2-4（k-3）=k2-4k+12=（k-2）2+8＞0，则k无论为何实数，关于x的方程（k-3）x2+kmx-m2+6m-4=0有实数根．

点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-，x1?x2=．也考查了一元二次方程的根的判别式．