一个完全平方数n的最后k（k≥2）位数字是相同的非零数字a，问：（1）a为哪个数字？（2）k最大为多少？（3）当k最大时，写出最小的具有这样性质的数．（不必证明）

网友回答

解：（1）一个平方数的末位数字（非0）只能是1，4，5，6，9．
∴数n的末二位必然是11，44，55，66，99，
又n为平方数，
∴n≡0或1（mod4）．
而末二位是11，55，99的数同余于3（mod4），
末二位是66的数同余于2（mod4）．
∴a只能为4，如144=122．

（2）若至少有连续4个4，即n=m2=t?104+4444．
∴可设m=2m1，m12=25t?102+1111≡3（mod4）．
同（1）可知，25t?102+1111不能为完全平方数．
∴至多连续3个4．（能够做到，见（3））

（3）当k最大时，最小的具有这样性质的数为1444=382．
解析分析：（1）一个平方数的末位数字（非0）只能是1，4，5，6，9，由此得到数n的末二位必然是11，44，55，66，99，又n为平方数，∴n≡0或1（mod4），而末二位是11，55，99的数同余于3（mod4），末二位是66的数同余于2（mod4），由此得到a只能为4；
（2）若至少有连续4个4，即n=m2=t?104+4444，然后设m=2m1，m12=25t?102+1111≡3（mod4），根据（1）可知，25t?102+1111不能为完全平方数，所以至多连续3个4；
（3）当k最大时，最小的具有这样性质的数为1444=382．

点评：本题考查了完全平方公式，主要利用余数定理来解题，根据同余来判断问题的正确与错误．