若二次函数y=x2+（a+17）x+38-a与反比例函数y=的交点是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），则正整数a的值是________．

网友回答

39或12
解析分析：先联立两方程，得到关于x的一元二次方程，把此方程分解为两个因式积的形式，再根据一元二次方程根的判别式即可求解．

解答：联立方程组 ，
消去y得，x2+（a+17）x+38-a=，
即x3+（a+17）x2+（38-a）x-56=0，
当x=1时，x3+（a+17）x2+（38-a）x-56=0，
∴式子x3+（a+17）x2+（38-a）x-56中含有因式（x-1），
分解因式得（x-1）[x2+（a+18）x+56]=0，（1）
显然x1=1是方程（1）的一个根，（1，56）是两个函数的图象的一个交点．
因为a是正整数，所以关于x的方程x2+（a+18）x+56=0，（2）
其判别式△=（a+18）2-224＞0，它一定有两个不同的实数根．
而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2）的根都是整数，
因此它的判别式△=（a+18）2-224应该是一个完全平方数．
设（a+18）2-224=k2（其中k为非负整数），则（a+18）2-k2=224，即（a+18+k）（a+18-k）=224．
显然a+18+k与a+18-k的奇偶性相同，且a+18+k≥18，而224=112×2=56×4=28×8，
所以?或或，
解得?或 或．
而a是正整数，所以只可能?或．
故