如题过点（a,b）的两个圆均于两坐标轴相切,它们的半径分别为r1,r2,求证r1*r2=a^2+b^

网友回答

在这里不妨设a,b>0不影响题目,那么
显然,这两圆的方程分别为
(x-R1)^2+(y-R1)^2=R1^2
(x-R2)^2+(y-R2)^2=R2^2
因为(a,b)均在两圆上,故均有
(a-R1)^2+(b-R1)^2=R1^2
(a-R2)^2+(b-R2)^2=R2^2
故R1,R2为关于r的方程
(a-r)^2+(b-r)^2=r^2的两根
方程变形为 r^2-(2a+2b)r+(a^2+b^2)=0
由韦达定理知R1R2=a^2+b^2
参考以下做法:
知道上无法画图,请自己根据题意画图.
已知两圆圆心分别为O1（r1,r1）、O2（r2,r2）,两圆交点之一为M（a,b）
MO1两点间距离的平方为：
(a-r1)^2+(b-r1)^2=r1^2
a^2-2a*r1+r1^2+b^2-2b*r1+r1^2=r1^2
a^2+b^2-2(a+b)*r1+r1^2=0
化简得：2(a+b)*r1-r1^2=a^2+b^2 （1）式
MO2两点间距离的平方为：
(a-r2)^2+(b-r2)^2=r2^2
化简得：2(a+b)*r2-r2^2=a^2+b^2 （2）式
由（1）式-（2）式可得出：
2(a+b)*(r1-r2)=r1^2-r2^2
2(a+b)*(r1-r2)=(r1-r2)*(r1+r2)
因为r1不等于r2,所以
2(a+b)=r1+r2 （3）式
把（3）式代入（1）式得：
(r1+r2)*r1-r1^2=a^2+b^2
化简得：r1r2=a^2+b^2
我不清楚是否还讨论象限,只要两圆在同一象限内,方法一致.如果两圆不在同一象限内,则两圆相切,且切点在坐标轴上,此时
（1）r1=r2=a的绝对值（相切x轴）,r1r2=r1^2=a^2（b=0）
（2）r1=r2=b的绝对值（相切y轴）,r1r2=r1^2=b^2（a=0）