如图,平面直角坐标系中,点C(-3,4),A为x轴正半轴上一点,已知四边形OABC为菱形,BC交y轴于点D?(1)求过点A、O、C的抛物线解析式;(2)线段CB上是否

发布时间:2020-08-10 09:46:18

如图,平面直角坐标系中,点C(-3,4),A为x轴正半轴上一点,已知四边形OABC为菱形,BC交y轴于点D?
(1)求过点A、O、C的抛物线解析式;
(2)线段CB上是否存在这样的点P:当点P绕点O顺时针旋转90°后恰好落在(1)所求的抛物线上?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.

网友回答

解:(1)∵OABC为菱形,
∴BC∥OA,OC=OA=BC,
∴OD⊥BC,
∵C(-3,4),
∴CD=3,OD=4,
∴OC==5,
∴A(5,0),
设抛物线的解析式为y=ax(x-5),
把C(-3,4)代入得24a=4,
解得a=,
∴y=x(x-5)=x2-x.

(2)由点A,O,C在抛物线y=x2-x上,可得抛物线必过原点,又已知四边形OABC为菱形,所以CB垂直y轴,其解析式为y=4,由此可设P为(a,4),因为点P绕点O顺时针旋转90°,可以看做△OPD绕点O顺时针旋转90°到△OP1D1,且这两三角形全等,所以P1点坐标为(4,-a),又因为P1点正好落在抛物线y=x2-x上,所以把P1点代入,可得a=-,即P(-,4).
解析分析:(1)由菱形的性质得OC=OA=BC,则OD⊥BC,由勾股定理得出OC,即可求出点A的坐标,设抛物线的解析式为y=ax(x-5),把C(-3,4)代入得a即可得出抛物线的解析式;
(2)设P(x,4)旋转90°到P′,可得出x,代入可求得y,从而得出点P的坐标即可.

点评:本题是一道二次函数的题,考查了菱形的性质、用待定系数法求二次函数的解析式以及旋转的性质,是一道难度不大的题目.
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