为什么双曲线的渐近线方程可以由双曲线标准方程的等号后面由1改为0直接推导出!双曲线标准方程的等号后面由1改为0得到的式子与其渐近线方程有什么联系?为什么会惊人地一致!具体分析下!保证24小时内采纳!有能帮我推导或证明这个结论的吗?［双曲线的渐近线方程可以由双曲线标准…］ 数学
网友回答
【答案】 渐近线的定义：如果曲线上的一点沿着趋于无穷远时,该点与某条直线的距离趋于零,则称此条直线为曲线的渐近线.
以双曲线的常见形式x²/a²-y²/b²=1为例
讨论在第一象限的部分
任取双曲线上一点P,设坐标为(asecθ,btanθ) θ为锐角
btanθ/(asecθ)=bsinθ/a
当θ趋近于π/2时,上式趋近于b/a,
而对于直线y=bx/a而言
P到直线的距离ab/cosθ×(1-sinθ)的极限是0
因而y=bx/a是其中的一条渐近线
另一条的同理
所以y/x=±b/a刚好是两条渐近线
乘起来化简整理便与双曲线方程左式相同了.
实际上,x^2/a^2-y^2/b^2=λ(λ≠0) 均表示双曲线(无论λ为正数还是负数.当λ是负数时,焦点在y轴),所有这些双曲线有共同渐近线 y=±b/a*x.
当 λ→0 时,这些双曲线的顶点逐渐靠近,距离趋于0,以至于双曲线越来越像两条相交直线.
当 λ=0 时,双曲线退化为两条相交直线（所以,两相交直线也叫退化的双曲线）,因此,x^2/a^2-y^2/b^2=0 正是所有这些双曲线的渐近线.