设A是每行每列均含有一个1和三个0的4级方阵,求证：存在一个正整数m使得A^m=E,这并求使得所有这样的A均满足A^k=E的最小整数k.
网友回答
注意A的列实际上就是单位阵的4个列向量的一个排列而已,也就是说Ae1＝ej1,Ae2＝ej2,...,Aen＝ejn,其中e1 e2 ...,e4是单位阵的4个列.因此存在整数k1使得A^(k1)e1=e1,A^(k2)e2=e2,...,A^(k4)e4=e4,取k1,k2,...,k4的最小公倍数k,则A^kei＝ei,i＝1,2,...,4.即A^(k)=E.最小的k应是4,不过怎么严格的证明出来可能有点困难.我试了十几个矩阵最大为4的时候就变成E.