4阶实系数线性齐次微分方程的两个解是cos4x和sin3x,求其通解,并确定其方程

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通解为y=c1*cos4x+c2*sin4x+c3*cos3x+c4*sin3x
微分方程对应的特征方程的四个根为4i,-4i,3i,-3i
因而特征方程为(r^2+16)(r^2+9)=0
即r^4+25*r^2+144=0
对应的微分方程为
y''''+25y''+144y=0
======以下答案可供参考======
供参考答案1:
第29卷第2期 河池学院学报 Vol.29No.22009年4月 JOURNALOFHECHIUNIVERSITY
Apr.2009四阶常系数非齐次线性微分方程特解的解法
蒋 静,冯春华
(广西师范大学 数学学院, 广西 桂林 541004)
[摘 要] 在已有文献所给的解一元四次方程方法的基础上,给出了求解四阶常系数方程的详细步骤,同时,
利用常数变易法和分部积分法,以及高等代数的相关知识,得到了在两种情况下四阶常系数非齐次线性微分方程特解的两个定理.
[关键词] 一元四次方程;四阶常系数非齐次线性方程;特征方程;特解
[中图分类号] O175.1 [文献标识码] A [文章编号] 1672-9021(2009)02-0019-05[作者简介] 蒋静(1984-),男,广西桂林人,广西师范大学数学学院硕士研究生,主要研究方向:组合论.
0 引言如所知道,对三阶常系数非齐次线性微分方程,可以用常数变易公式求出它的一个特解
[1].对四阶常系
数非齐次线性微分方程
x(4)+ax󰂪+bx″+cx′+dx=f(t)
(1)其中:a,b,c,d为常数,f(t)∈C,且f(t)不恒为零.同三阶方程一样,求解这类方程的通解的关键仍在于求出其中一个特解.要求出一个特解就必须先求解方程(1)所对应的特征方程,即求解一个一元四次方程.因此,本文首先在文献[2]所给的解一元四次方程方法的基础上,得到了一元四次方程的根式解.同时,利用常数
变易法[3]和分部积分法[4],以及高等代数[5]
的相关知识,得出了方程(1)的特征方程在满足什么条件的情况下有四个不相同的单实根、两对不同共轭根,并求出了在这两种情况下,其特解的两个公式.用同样的方法,还可以求出方程(1)的特征方程在何种情况下有一个单实根一个三重实根、两个单实根一个二重实根、两个二重实根、一个四重实根、两个单实根一对共轭根、一个二重实根一对共轭根和两对相同共轭根,以及在这些情况下方程(1)的特解的公式,由于篇幅过大,这里从略,这样就可以求出方程(1)在任何情况下的特解了.所给例子表明,用通常的特定系数法不能求出所给方程的特解,从而本文的求特解方法在实际应用中有一定意义.
1 主要结果定理1:若(1)所对应的特征方程λ4
+aλ3+bλ2+cλ+d=0满足 a2
-4b+4y>02a2-4y-4b>02a(a2-4b+4y)
12+8(y2-4d)12=0(其中y=-q2+(q24+p327)1213+-q2-(q24+p327)1213+b