已知：抛物线y=-x2+（m+2）x+m-1与x轴交于A、B两点（点A、B分别在原点O的左、右两侧），以OA、OB为直径作⊙O1和⊙O2．
（1）请问：⊙O1和⊙O2，能否为等圆？若能，求出其半径的长度；若不能，说明理由；
（2）设抛物线向上平移4个单位后，⊙O1、⊙O2的面积分别成为S1、S2，且4S2-16S1=5π，求平移后所得抛物线的解析式；
（3）由（2）所得的抛物线与y轴交于点C，⊙O1和⊙O2的一条外公切线MN分别交x轴和y轴于点P、Q（M、N为切点，如图所示），求△CPQ的面积．
网友回答
解：（1）不能为等圆；
设A、B两点的坐标分别为（x1，0）（x2，0）
x1?x2=-（m-1）＜0，m＞1
∴x1+x2=m+2＞0
即x1+x2≠0，
∴A、B两点到原点距离不能相等
即⊙O1和⊙O2的直径不相等．
（2）抛物线向上平移4个单位，解析式为
y=-x2+（m+2）x+m+3
令y=0，x1=-1，x2=m+3
∴⊙O1，⊙O2的半径分别为1，m+3；
∵4S2-16S1=5π
∴（m+3）2-4=5
m1=0，m2=-6
当m=0时，y=-x2+2x+3
当m=-6时，y=-x2-4x-3
此时x1x2=3＞0，不合题意，舍去
∴所求抛物线解析式为y=-x2+2x+3．
（3）连接O1M，O2N，过O1作O1D⊥O2N于D，则O1M=，O2N=
∴O1O2=2，O1D=1
直角三角形O1O2D中，∠O2O1D=30°，
∴∠OPQ=30°，
直角三角形O2PM中，O2M=，
∴O2P=1
∴OP=，OQ=，CQ=3+
∴S△PCQ=CQ?OP=+．
解析分析：（1）设A、B两点的坐标分别为（x1，0）（x2，0），由于A、B位于原点两侧，根据一元二次方程根与系数的关系可得出x1x2＜0，即m＞1．而要使两圆为等圆，必须满足的条件是抛物线的对称轴为y轴，即m=-2，因此两圆不可能成为等圆．
（2）平移后抛物线的解析式为y=-x2+（m+2）x+m+3，可用十字相乘法得出A、B两点的坐标，也就求出了OA，OB的长，然后根据4S2-16S1=5π，即可求出m的值．也就能求出平移后抛物线的解析式了．
（3）可连接O1M和O2N，过O1作O2N的垂线，通过两圆的半径和以及半径差求出OPQ的正弦值，然后在直角三角形PMO1中，根据⊙O1的半径和∠OPQ的正弦值求出PM和PO1的长，进而可求出OP、PQ、OQ的长，然后根据三角形的面积公式即可得出△CPQ的面积．
点评：本题考查一元二次方程根与系数的关系、二次函数的图形的平移、二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．