已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足f（-1）=0且对一切实数x恒成立，求f（x）的解析式．

网友回答

解：当x=，即x=1时，1≤f（1）≤1，
则f（1）=1；
联立f（-1）=0，有：
，
解得：a+c=b=；
∵对于一切实数x，f（x）-x≥0恒成立，
∴ax2+（b-1）x+c≥0（a≠0），对于一切实数x恒成立，
∴，即
∵a+c=，且a+c≥2=2×=
∴当且只有当a=c=时，不等式成立；
∴f（x）=x2+x+．
解析分析：在给出的不等式中，首先令x=，根据这个条件可求出一个f（x）的函数值，联立f（-1）=0，即可求出a+c与b的关系式；由给出的不等式，还可以得到的条件是：对于一切实数x，f（x）-x≥0恒成立，即：ax2+（b-1）x+c≥0对于一切实数x恒成立，观察这个不等式，只有当a＞0，且△=（b-1）2-4ac≤0时，才满足上述条件，然后结合均值不等式求出a、c的值；由此得解．

点评：此题考查的是二次函数解析式的求法，题中还涉及了二次函数的性质、二次函数与不等式的联系以及均值不等式的应用，难度较大；解题的关键是从不等式中找出f（x）的一个定值以及抓住不等式恒成立的条件．