如图，⊙O的直径AB长为6，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）求BD的长；（2）将△ADC绕D点顺时针方向旋转90°，请补充旋转后图形，并计算CD的长

网友回答

解：（1）∵AB是直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴∠DAC=∠BCD，
∴=，
∴AD=BD，
∴在Rt△ABD中，AD=BD=AB=×6=3；

（2）如图所示，在Rt△ABC中，AB=6，AC=2，
∴BC===4，
∵四边形ACBD是圆内接四边形，
∴∠CAD+∠DBC=180°，
∴△ADC绕D点顺时针方向旋转90°后，AD与BD重合，C点的对应点C′与B、C在同一直线上，且△C′DC为等腰直角三角形，
∵C′C=AC+BC=2+4，
∴在Rt△C′DC中，CD=C′D=?C′C=4+．
解析分析：（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=∠ADB=90°，再根据角平分线的定义可得∠DAC=∠BCD，然后求出AD=BD，再根据等腰直角三角形的性质其解即可；
（2）根据勾股定理列式求出BC的长，再根据圆内接四边形的对角互补求出∠CAD+∠DBC=180°，从而得到旋转后AD与BD重合，C点的对应点C′与B、C在同一直线上，然后判断出△C′DC为等腰直角三角形，再求出CC′，然后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍计算即可得解．（作图：延长CB到C′，使C′B=AC，连接C′D即可．）

点评：本题考查了利用旋转变换作图，直径所对的圆周角等于直角，等腰直角三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质，勾股定理的应用，综合题，但难度不大．