定义函数其导函数记为．
（Ⅰ）求y=fn（x）-nx的单调递增区间；
（Ⅱ）若，求证：0＜x0＜1；
（Ⅲ）设函数φ（x）=f3（x）-f2（x），数列{ak}前k项和为Sk，2kSk=φ（k-1）+2kak，其中a1=1．对于给定的正整数n（n≥2），数列{bn}满足ak+1bk+1=（k-n）bk（k=1，2…，n-1），且b1=1，求b1+b2+…+bn．
网友回答
答案:（Ⅰ）解：，
令g（x）=（1+x）n-1-nx，则g'（x）=n[（1+x）n-1-1]，
当x∈（-2，0）时，g'（x）＜0，当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0，
所以y=fn（x）-nx的单调递增区间为（0，+∞）…（4分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，当x∈（-2，0）时，g'（x）＜0，当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0，
所以g（x）在（-2，0）上递减，在（0，+∞）上递增，则g（x）在x=0有最小值g（0）=0，
则g（x）≥0，即（1+x）n＞1+nx，…（5分）
由得，．
所以，所以．
又x0＞0，，
所以2n+1=（1+1）n+1＞1+（n+1）×1=n+2，所以x0-1＜0，即x0＜1，
所以0＜x0＜1…（9分）
（Ⅲ）解：
∵2kSk=φ（k-1）+2kak，∴，∴2Sk=（k-1）k+2ak
∴当k＞1时，2Sk-1=（k-2）（k-1）+2ak-1
故2ak=2（k-1）+2（ak-ak-1），即ak-1=k-1，∴an=n
∵ak+1bk+1=（k-n）bk，∴（k+1）bk+1=（k-n）bk，
∴（k+1）bk+1-kbk=-nbk，∴2b2-b1=-nb1，3b3-2b2=-nb2，4b4-3b3=-nb3，…，nbn-（n-1）bn-1=-nbn-1，
以上式子累加得nbn-b1=-n（b1+b2+b3+…+bn-1），∴n（b1+b2+b3+…+bn-1+bn）=b1
∴…（14分）
分析：（Ⅰ）构建新函数g（x）=（1+x）n-1-nx，求导函数，由导数大于0，可得y=fn（x）-nx的单调递增区间；
（Ⅱ）根据g（x）在（-2，0）上递减，在（0，+∞）上递增，可得g（x）≥g（0）=0，由，求得，进而可得结论；
（Ⅲ）由2kSk=φ（k-1）+2kak，可得2Sk=（k-1）k+2ak，再写一式，两式相减，确定数列{an}的通项，再根据ak+1bk+1=（k-n）bk，可得（k+1）bk+1-kbk=-nbk，从而利用叠加法，可得结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查数列的通项，考查叠加法的运用，综合性强，属于中档题．