排列组合公式是什么,数学排列组合公式都有哪些

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公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。
N-元素的总个数
R参与选择的元素个数

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排列的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n,m）表示。计算公式：  此外规定0!=1(n!表示n(n-1)(n-2)...1,也就是6！=6x5x4x3x2x1[1] 组合的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 C(n,m) 表示。计算公式：  ；C(n,m)=C(n,n-m）。（n≥m)其他排列与组合公式 从n个元素中取出m个元素的循环排列数=A(n,m)/m=n!/m(n-m)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1！×n2！×...×nk!). k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为C(m+k-1,m）。符号常见的一道题目C-Combination 组合数[2] A-Arrangement 排列数（在旧教材为P-Permutation）N-元素的总个数M-参与选择的元素个数！-阶乘基本计数原理⑴加法原理和分类计数法⒈加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在组合恒等式(2张) 第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。⒉第一类办法的方法属于集合A1，第二类办法的方法属于集合A2，……，第n类办法的方法属于集合An，那么完成这件事的方法属于集合A1UA2U…UAn。⒊分类的要求 ：每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏）。⑵乘法原理和分步计数法⒈ 乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。⒉合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同。3.与后来的离散型随机变量也有密切相关。组合数的奇偶奇偶定义：对组合数C(n,k)(n>=k）：将n,k分别化为二进制，若某二进制位对应的n为0，而k为1 ，则C(n,k）为偶数；否则为奇数。下面是判定方法：结论：对于C(n,k），若n&k == k 则c(n,k）为奇数，否则为偶数。证明：对于C(n,k），若n&k == k 则c(n,k）为奇数，否则为偶数。证明：利用数学归纳法：由C(n,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k-1）；对应于杨辉三角：11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1………………可以验证前面几层及k = 0时满足结论，下面证明在C(n-1,k）和C(n-1,k-1) (k > 0) 满足结论的情况下，C(n,k）满足结论。1）.假设C(n-1,k）和C(n-1,k-1）为奇数：则有：（n-1）&k == k;（n-1）&(k-1） == k-1;由于k和k-1的最后一位（在这里的位指的是二进制的位，下同）必然是不同的，所以n-1的最后一位必然是1。现假设n&k == k。则同样因为n-1和n的最后一位不同推出k的最后一位是1。因为n-1的最后一位是1，则n的最后一位是0，所以n&k != k，与假设矛盾。所以得n&k != k。2）.假设C(n-1,k）和C(n-1,k-1）为偶数：则有：（n-1）&k != k;（n-1）&(k-1） != k-1;现假设n&k == k.则对于k最后一位为1的情况：此时n最后一位也为1，所以有（n-1）&(k-1） == k-1，与假设矛盾。而对于k最后一位为0的情况：则k的末尾必有一部分7a686964616fe58685e5aeb931333363353831形如：10; 代表任意个0。相应的，n对应的部分为：1{*}*; *代表0或1。而若n对应的{*}*中只要有一个为1，则（n-1）&k == k成立，所以n对应部分也应该是10。则相应的，k-1和n-1的末尾部分均为01，所以（n-1）&(k-1） == k-1 成立，与假设矛盾。所以得n&k != k。由1）和2）得出当C(n,k）是偶数时，n&k != k。3）.假设C(n-1,k）为奇数而C(n-1,k-1）为偶数：则有：（n-1）&k == k;（n-1）&(k-1） != k-1;显然，k的最后一位只能是0，否则由（n-1）&k == k即可推出（n-1）&(k-1） == k-1。所以k的末尾必有一部分形如：10;相应的，n-1的对应部分为：1{*}*;相应的，k-1的对应部分为：01;则若要使得（n-1）&(k-1） != k-1 则要求n-1对应的{*}*中至少有一个是0.所以n的对应部分也就为 ：1{*}*; （不会因为进位变1为0)所以 n&k = k。4）.假设C(n-1,k）为偶数而C(n-1,k-1）为奇数：则有：（n-1）&k != k;（n-1）&(k-1） == k-1;分两种情况：当k-1的最后一位为0时：则k-1的末尾必有一部分形如：10;相应的，k的对应部分为 : 11;相应的，n-1的对应部分为 : 1{*}0; （若为1{*}1，则（n-1）&k == k)相应的，n的对应部分为 : 1{*}1;所以n&k = k。当k-1的最后一位为1时：则k-1的末尾必有一部分形如：01; （前面的0可以是附加上去的）相应的，k的对应部分为 : 10;相应的，n-1的对应部分为 : 01; （若为11，则（n-1）&k == k)相应的，n的对应部分为 : 10;所以n&k = k。由3），4）得出当C(n,k）为奇数时，n&k = k。综上，结论得证。