如图，在△ABC中，AB=AC，E是高AD上的动点，F是点D关于点E的对称点（点F在高AD上，且不与A，D重合）．过点F作BC的平行线与AB交于G，与AC交于H，连接

网友回答

（1）证明：∵F，E关于点D对称，
∴FE=ED
又∵GH∥BC，
∴∠FGE=∠EID，
∵∠GEF=∠DEI，
∴△GEF≌△IED，
∴GE=EI，
同理可证EH=JE，
∴四边形GHIJ是平行四边形，
∵AB=AC，GH∥BC，AD⊥BC，
∴AF垂直平分GH，
∴EF∥HI（三角形中位线定理），
∴HI⊥GH，四边形GHIJ是矩形．

（2）解：①由（1）得，DF=2ED=2x，
∵GH∥BC，
∴△AGH∽△ABC，
∴，
∴．
即GH=（6-2x）=10-x．
∴S矩形GHIJ=HI?GH=2x?（10-x）=-x2+20x，
∵AF=6-2x＞0，
∴x＜3，∴0＜x＜3．
②解法（一）：
∵S△AGH=AF?GH=?（6-2x）?（10-x），S矩形GHIJ=2x?（10-x），
依题意，得：?（6-2x）?（10-x）=2x?（10-x），
解得：x1=1，x2=3（x＜3，舍去），
即：当点E与点D的距离为1时，四边形GHIJ的面积与△AGH的面积相等．

解法（二）：要使矩形GHIJ的面积等于△AGH的面积，则需AF=2DF，
即6-2x=4x，∴x=1，
∴当点E与点D的距离为1时，四边形GHIJ的面积与△AGH的面积相等．
解析分析：（1）易得△GEF≌△IED，△FHE≌△DJE，则有GE=EI，EH=JE，所以四边形GHIJ是平行四边形，由等腰三角形的性质：底边上的高与底边上的中线重合知，AF垂直平分GH?EF∥HI（三角形中位线定理）?HI⊥GH?四边形GHIJ是矩形．
（2）由于矩形GHIJ的面积=GH?FD，△AGH的面积=HG?AF，所以要使矩形GHIJ的面积等于△AGH的面积，则需AF=2DF，建立关于ED的方程，求得ED即可．

点评：本题利用了对称的概念，全等三角形的判定和性质，平行四边形和矩形的判定，三角形和矩形的面积公式求解．