如图，抛物线y=ax2过点A（1，1），点B（m，n）在抛物线上运动，在线段AB上取一点Q，使得BQ=2QA．（1）当点B的横坐标m=-2时，求点Q的坐标；（2）过Q

网友回答

解：（1）由点A在抛物线上，得a=1，
由点B在抛物线上，
n=m2=4，得：B（-2，4）
过Q点作x轴的平行线EF，过点A、B作x轴垂线分别交EF于F、E点，
设点Q （x1，y1），E （-2，y1），F（1，y1），
又可证得：△QFA∽△QEB，
∴===2，EQ=2QF，EB=2AF，
EQ=x1+2，QF=1-x1，
∴x1+2=2（1-x1），x1=0，
同理得：EB=4-y1，AF=y1-1，4-y1=2 （y1-1），y1=2
∴Q（0，2）；

（2）由题意知：Q，P，M三点在同一条垂直于x轴的直线上，
点P（x，y），则M （x，x2），
设Q（x，y1），
由QM=2MP得：y1-x2=2（x2-y），y1=3x2-2y ①
由（1）知：EQ=2QF，EB=2AF，
EQ=x-m，QF=1-x，x-m=2（1-x） ②
EB=n-y1，AF=y1-1，n-y1=2 （y1-1）③
由②得：m=3x-2
由③得：n=3yl-2=3（3x2-2y）-2=9x2-6y-2，
又∵点B在抛物线上
∴n=m2，即：9x2-6y-2=（ 3x-2）2
解得：y=2x-1．
解析分析：（1）将点A（1，1）代入抛物线y=ax2，可求抛物线的解析式，根据点B在抛物线上，则n=m2=4，可得B（-2，4），过Q点作x轴的平行线EF，过点A、B作x轴垂线分别交EF于F、E点，设点Q （x1，y1），E （-2，y1），F（1，y1），根据相似三角形的判定和性质可得点Q的坐标；
（2）由题意知：Q，P，M三点在同一条垂直于x轴的直线上，点P（x，y），则M （x，x2），设Q（x，y1），由QM=2MP得：y1-x2=2（x2-y），y1=3x2-2y ①由（1）知：EQ=2QF，EB=2AF，EQ=x-m，QF=1-x，x-m=2（1-x）②，EB=n-y1，AF=y1-1，n-y1=2 （y1-1）③，依此即可得到点P（x，y）的纵坐标y与横坐标x满足的解析式．

点评：考查了二次函数综合题，该题涉及到利用待定系数法确定函数解析式、相似三角形的判定和性质，方程组的求解等重点知识，同时注意辅助线的作法．