怎么推导反函数公式,这个反函数的公式是怎么理解的……

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令f^-1=g
　　则f(f^-1(x))=f(g(x))
　　举个例子:函数y=f(x)=2x，即x=f^-1(y)=y/2=g(y)
　　所以f(f^-1(x))=f(g(x))=f(x/2)=2(x/2)=x

网友回答

一般来说，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f-1(x) 。反函数y=f -1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。
　　一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x），则y=f（x）的反函数为x=f (y)或者y=f-1（x）。存在反函数(默认为单值函数）的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。注意：上标"−1"指的是函数幂，但不是指数幂。
　　设函数y=f(x)的定义域是D，值域是f(D)。如果对于值域f(D)中的每一个y，在D中有且只有一个y使得g(y)=x，则按此对应法则得到了一个定义在f(D)上的函数，并把该函数称为函数y=f(x)的反函数，记为　　由该定义可以很快得出函数f的定义域D和值域f(D)恰好就是反函数f-1的值域和定义域，并且f-1的反函数就是f，也就是说，函数f和f-1互为反函数，即：　　
　　反函数与原函数的复合函数等于x，即：　　　　　　　　
　　习惯上我们用x来表示自变量，用y来表示因变量，于是函数y=f(x)的反函数通常写成
　　。
　　例如，函数
　　的反函数是
　　。
　　相对于反函数y=f-1(x)来说，原来的函数y=f(x)称为直接函数。反函数和直接函数的图像关于直线y=x对称。这是因为，如果设(a,b)是y=f(x)的图像上任意一点，即b=f(a)。根据反函数的定义，有a=f-1(b)，即点(b,a)在反函数y=f-1(x)的图像上。而点(a,b)和(b,a)关于直线y=x对称，由(a,b)的任意性可知f和f-1关于y=x对称。
　　于是我们可以知道，如果两个函数的图像关于y=x对称，那么这两个函数互为反函数。这也可以看做是反函数的一个几何定义。
　　在微积分里，f (n)(x)是用来指f的n次微分的。
　　若一函数有反函数，此函数便称为可逆的（invertible）。
　　一函数f若要是一明确的反函数，它必须是一双射函数，即：
　　（单射）陪域上的每一元素都必须只被f映射到一次：不然其反函数将必须将元素映射到超过一个的值上去。
　　（满射）陪域上的每一元素都必须被f映射到：不然将没有办法对某些元素定义f的反函数。
　　若f为一实变函数，则若f有一明确反函数，它必通过水平线测试，即一放在f图上的水平线
　　请点击输入图片描述
　　必对所有实数k，通过且只通过一次。[1] 
　　反函数存在定理
　　定理：严格单调函数必定有严格单调的反函数，并且二者单调性相同。
　　在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。
　　设y=f(x)的定义域为D，值域为f(D)。如果对D中任意两点x1和x2，当x1<x2时，有y1<y2，则称y=f(x)在D上严格单调递增；当x1<x2时，有y1>y2，则称y=f(x)在D上严格单调递减。
　　证明：设f在D上严格单增，对任一y∈f(D)，有x∈D使f(x)=y。
　　而由于f的严格单增性，对D中任一x'<x，都有y'<y；任一x''>x，都有y''>y。总之能使f(x)=y的x只有一个，根据反函数的定义，f存在反函数f-1。
　　任取f(D)中的两点y1和y2，设y1<y2。而因为f存在反函数f-1，所以有x1=f-1(y1)，x2=f-1(y2)，且x1、x2∈D。
　　若此时x1≥x2，根据f的严格单增性，有y1≥y2，这和我们假设的y1<y2矛盾。
　　因此x1<x2，即当y1<y2时，有f-1(y1)<f-1(y2)。这就证明了反函数f-1也是严格单增的。
　　如果f在D上严格单减，证明类似。
　　希望我能帮助你解疑释惑。