第一类和第二类压力容器安装好后必须跟当地的特种设备安装监督检验机构申请检验吗？

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题主的说法是肯定的，国家在这方面有强制性规定，具体检查执行单位为各地的（当地的）特种设备安装检验机构，请题主及时与他们联系咨询为妥。