试题难度：难度：中档 试题类型：解答题 试题内容：2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》．其中规定：居民区中的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：
组别
PM2.5（微克/立方米）
频数（天）
频率第一组
（0，15]
4
0.1第二组
（15，30]
12
0.3第三组
（30，45]
8
0.2第四组
（45，60]
8
0.2第三组
（60，75]
4
0.1第四组
（75，90）
4
0.1（Ⅰ）写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；
（Ⅱ）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；
（Ⅲ）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）．
推荐回答
试题答案：（Ⅰ） 众数为22.5微克/立方米，中位数为37.5微克/立方米．…（4分）（Ⅱ）去年该居民区PM2.5年平均浓度为7.5×0.1+22.5×0.3+37.5×0.2+52.5×0.2+67.5×0.1+82.5×0.1=40.5（微克/立方米）．…（6分）因为40.5＞35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进．…（8分）（Ⅲ）记事件A表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，则P(A)=910．…（9分）随机变量ξ的可能取值为0，1，2．且ξ～B(2，910)．所以P(ξ=k)=Ck2(910)k(1-910)2-k(k=0，1，2)，…（11分）所以变量ξ的分布列为ξ012p11001810081100…（12分）Eξ=0×1100+1×18100+2×81100=1.8（天），或Eξ=nP=2×910=1.8（天）．…（13分）