43题我这样做的，答案上是这样的我没有想到，我发现结果不一样，请问我这样做对不对呢？

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您的解法是对的，不一定要与答案相同。但只要分子有理化，就和答案一致了。

| (t - 1) / (t + 1) | = (t - 1)(t + 1)/(t + 1 )^2 = ( t^2 - 1) /(t + 1 )^2； 

原式 = ln { ( 4e^x + 1 - 1 ) /[ √(4e^x + 1) + 1 ]^2 }

= ln { [ 2e^(x/2) ]/[ √(4e^x + 1) + 1 ] }^2

 = 2ln { [ 2e^(x/2) ]/[ √(4e^x + 1) + 1 ] }   分子分母对调

= -2ln { [ √(4e^x + 1) + 1 ]/ [ 2e^(x/2) ] }  同除以 e^(x/2) 

= -2ln { [ √( 4 + 1/e^x ) + 1/e^(x/2) ]/ 2 }

= -2ln  { e^(-x/2) + √[ 4 + e^(-x) ] } - 2ln2

= -2ln { e^(-x/2) + √[ 4 + e^(-x) ] } + C 。