记集合A={x|f（x）=x，x∈R}，B={x|f（f（x））=x，x∈R}．（Ⅰ）令函数f（x）=x2+bx+c（1）若A≠?，求证：B≠?；（2）若A=?，判断

网友回答

（Ⅰ）解：由f（x）=x2+bx+c得f（f（x））=f2（x）+bf（x）+c及c=f（x）-x2-bx
由f（f（x））=x得到f2（x）+bf（x）+c=x，即f2（x）+bf（x）+f（x）-x2-bx=x
整理得到f2（x）-x2+b（f（x）-x）+（f（x）-x）=0，即（f（x）-x）（f（x）+x+b+1）=0①
即f（x）-x=0或f（x）+x+b+1=0，
即x2+（b-1）x+c=0②或x2+（b+1）x+b+c+1=0③
方程②的判别式△=（b-1）2-4c
方程③的判别式
（1）若A≠?，即f（x）-x=0有解，即x2+（b-1）x+c=0有解，即△≥0，则①有解，即B≠?
（2）若A=?，即△＜0，则△1＜0，②和③均无解，则①无解，即B=?----------------
（Ⅱ）（1）证明：若A=?，则A?B
若A≠?，任取x0∈A，则f（x0）=x0，则f（f（x0））=f（x0）=x0，
即x0∈B，即A?B--------------------------------------------
（2）解：任取x0∈B，则f（f（x0））=x0，
若x0＞f（x0），因为函数f（x）为增函数，则f（x0）＞f（f（x0））=x0，产生矛盾；
若x0＜f（x0），因为函数f（x）为增函数，则f（x0）＜f（f（x0））=x0，产生矛盾，
则x0=f（x0），即x0∈A，则B?A
再由（1）得A=B-------------------------------------
解析分析：（I）（1）先确定方程，再结合根的判别式，可得结论；
（2）A=?，方程无解，结合根的判别式，可得结论；
（II）（1）分类讨论，利用集合包含关系的定义，可得结论；
（2）任取x0∈B，则f（f（x0））=x0，分类讨论，可得x0=f（x0），即x0∈A，则B?A，从而可得结论．

点评：本题考查集合的包含关系，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论的数字思想，属于中档题．