曲线积分(y-z)dx+(z-x)dy+(x-y)dzL为x^2+y^2+z^2=a^2与平面x+y

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用斯托克斯公式
原式=∫∫(S)[(-2dxdy)+(-2dydz)+(-2dzdx)] 根据右手法则被积曲面S法向量朝上
曲面S方程为x^2+y^2+z^2=a^2,x+y+z=0满足轮换对称性
原式=-∫∫(S)6dxdy=-6∫∫(D)dxdy,(设被积曲面S在平面xOy上的投影为D)
即要求D面积的-6倍(注意S的法向量向上,而D是个椭圆)
考察曲面S的面积,x^2+y^2+z^2=a^2,该球的圆心在(0,0,0)点,平面x+y+z=0过(0,0,0)点,易知交线L是个圆心在(0,0,0)半径为a的圆形,故面积为(πa^2)
同时又有:S的面积=∫∫(S)dS=∫∫(D)√(1+(z'(x))^2+(z'(y))^2)dD
由平面方程x+y+z=0易得z'(x)=z'(y)=-1
∫∫(S)dS=∫∫(D)√(1+(-1)^2+(-1)^2)dD=(√3)∫∫(D)dD
∫∫(D)dD=((√3)/3)∫∫(S)dS=((√3)/3)*πa^2
原式=-6∫∫(D)dxdy=-(2√3)πa^2
不知道算对没有