如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，点C在⊙O上，连接BC，CA=CD，BC=BD=6．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）判断直线CD与⊙O的位置关系，

网友回答

（1）证明：∵CA=CD，
∴∠A=∠D（等边对等角）．
∵BC=BD=6，
∴∠D=∠BCD（等边对等角），
∴∠A=∠BCD．
又∠D=∠D，
∴△ACD∽△CBD；

（2）直线CD与⊙O相切．理由如下：
连接OC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠ACO⊥∠BCO=90°．
∵OA=OC（⊙O的半径），
∴∠A=∠OCA（等边对等角）．
又∵∠A=∠BCD，
∴∠BCD=∠ACO（等量代换），
∴∠BCD+∠BCO=90°，即∠DCO=90°，
∴OC⊥CD．
又∵OC是⊙O的半径，
∴直线CD与⊙O相切．
解析分析：（1）通过等腰三角形的性质证得△ACD和△CBD中的对应角∠A=∠BCD，再加上公共角∠D，即可证得结论；
（2）直线CD与⊙O相切．只需证得OC⊥CD即可．

点评：本题考查了切线的判定、圆周角定理以及相似三角形的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．