已知函数的值域是[1，3]．（1）求b，c；（2）判断函数F（x）=lgf（x）在[-1，1]上的单调性，并予以证明．

网友回答

解：（1）∵函数的定义域为R
令，则y∈[1，3]
则（2-y）x2+bx+（c-y）=0一定有实根
即b2-4（c-y）（2-y）≥0
即4y2-（8+4c）y+8c-b2≤0
又∵[1，3]
∴1+3=，1×3=
解得b=-2，c=2
（2）由（1）得
∴F（x）=lgf（x）=
任取区间[-1，1]上两个数x1，x2且x1＜x2
则F（x1）-F（x2）=-
∵，，
又外层函数是增函数，故比较与的大小即可
因为-=＞0
即F（x1）＞F（x2）
故函数F（x）=lgf（x）在[-1，1]上单调递减
解析分析：（1）由已知中函数的值域是[1，3]，利用判别式法，我们可以构造出一个关于b，c的方程组，解方程组即可得到b，c的值；
（2）由（1）的结论我们易给出函数F（x）=lgf（x）的解析式，利用作差法，我们可以判断出F（x1）与F（x2）的大小，结合函数单调性的定义，我们易判断出函数F（x）=lgf（x）在[-1，1]上的单调性．

点评：本题考查的知识点是函数的单调性的判断与证明及函数值域的求法，其中利用判别式法构造出一个关于b，c的方程组，求出b，c的值是解答本题的关键．