如图，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与抛物线y=ax2（a＜0）交于A、B两点，请解答以下问题：
（1）若测得OA=OB=2（如图1），求a的值；
（2）对同一条抛物线，将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标；
（3）对该抛物线，将三角板绕点O旋转任意角度时，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试求出该点的坐标．
网友回答
解：（1）设线段AB与y轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C为AB中点，
∵OA=OB=2，∠AOB=90°，
∴AC=OC=BC=2，∴B（2，-2），
将B（2，-2）代入抛物线y=ax2（a＜0）得，a=-．
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，
∵点B的横坐标为1，∴B?（1，-），
设A（-m，-m 2）（m＞0），则
OB2=12+（）2=，OA2=m2+m4，AB2=（1+m）2+（-+m2）2，
∵∠AOB=90°，∴AB2=OA2+OB2，
∴（1+m）2+（-+m2）2=m2+m4+，
解得：m=0（不合题意舍去）或m=4，即点A的横坐标为-4．
（3）解法一：设A（-m，-m 2）（m＞0），B（n，-n 2）（n＞0），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，则，
①×n+②×m得，（m+n）b=-（m2n+mn2）=-mn（m+n），
∴b=-mn，
由前可知，OB2=n2+n4，OA2=m2+m4，AB2=（n+m）2+（-m2+n2）2，
由AB2=OA2+OB2，得：n2+n4+m2+m4=（n+m）2+（-m2+n2）2，
化简，得mn=4．
∴b=-×4=-2．由此可知不论k为何值，直线AB恒过点（0，-2），
解法二：设A（-m，-m 2）（m＞0），B（n，-n 2）（n＞0），
直线AB与y轴的交点为C，根据S△AOB=S梯形ABFE-S△AOE-S△BOF=S△AOC+S△BOC，可得
×（m2+n2）（m+n）-m×m2-n×n2=CO?m+CO?n
化简，得CO=mn，
由前可知，OB2=n2+n4，OA2=m2+m4，AB2=（n+m）2+（-m2+n2）2，
由AB2=OA2+OB2，得：n2+n4+m2+m4=（n+m）2+（-m2+n2）2，
化简，得mn=4．
∴OC=2为固定值．故直线AB恒过其与y轴的交点C（0，-2）．
解析分析：（1）根据抛物线的对成性，先求出B点坐标，代入抛物线y=ax2（a＜0）得a的值；
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，可利用AB2=OA2+OB2，求出点A的横坐标．
（3）首先设A（-m，-m2）（m＞0），B（n，-n2）（n＞0），表示出直线AB解析式中b=-mn，再利用勾股定理得出mn=4，进而得出直线AB恒过其与y轴的交点C（0，-2）．
点评：此题考查了抛物线的对称性和勾股定理以及一元二次方程解法，第（3）问求出mn=4是解题的关键，综合性较强，有一定的难度．