如图所示，△ABC是正三角形，△A1B1?C1的三条边A1B1、BlC1、C1A1交△ABC各边分别于C2、C3，A2、A3，B2、B3．已知A2C3=C2B3=B2A3，且C2C32+B2B32=A2A32．请你证明：AlB1⊥C1A1．
网友回答
证明：如图，过A2作C3C2的平行线交过C2所作C3A2的平行线于点O，连接OA3、0B3，
∴A2OC2C3是平行四边形，
∴A2O∥C3C2，且A2O=C3C2，OC2∥A2C3且OC2=A2C3=B3C2，
∴△OB3C2是正三角形，
∴∠OB3C2=60°=∠B，
∴OB3∥A3B2，
又∵0B3=B3C2=A3B2，
∴OB3B2A3是平行四边形，
∴OA3∥B3B2且OA3=B3B2，
∵C2C32+B2B32=A2A32，
∴OA22+OA32=A2A32，
在△A2OA3中，
∵OA22+OA32=A2A32，
∴由勾股定理的逆定理得∠A2OA3=90°，
∵已证OA3∥B3B2，即OA3∥A1C1，A2O∥C3C2，即A2O∥B1A1，
∴∠C1A1B1=90°，
∴A1B1⊥C1A1．
解析分析：如图，过A2作C3C2的平行线交过C2所作C3A2的平行线于点O，连接OA3、0B3，可证得四边形A2OC2C3和四边形OB3B2A3是平行四边形，则可得OA2=C2C3，OA3=B2B3，由勾股定理的逆定理得∠A2OA3=90°，根据两角边与边的平行关系，即可证得∠C1A1B1=90°，即A1B1⊥C1A1．
点评：本题主要考查了等边三角形的性质、勾股定理的应用和平行四边形的性质，作好辅助线，构建平行四边形，运用其性质，是解答本题的关键．