2012年陕西省数学初中毕业学业试卷(副题)25.（本题满分10分） 如图,在锐角△ABC中,∠ACB=45°,AB=1.分别以A、B为直角顶点,向△ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF,再分别过点E、F作边AB所在直线的垂线,垂足为M,N.（1）求证：EM+FN=AB；（2）求当△ABC面积的最大值；（3）当△ABC面积最大时,在直线MN上找一点P,使得EP+FP的值最小,求出这个最小值.（结果可保留根号） 数学
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【答案】 （3）根据余弦定理有AC²+BC²-AB²=2*AC*BC*cos角ACB
∵角ACB等于45,AB=1
∴AC²+BC²-√2*AC*BC=1
∵AC²+BC²≥2*AC*BC
∴（2-√2）*AC*BC≤1
即AC*BC≤1+1/√2
ABC面积=1/2*AC*BC*sin角ACB≤（1+√2）/4
当AC=BC时,ABC面积的最大值为（1+√2）/4
作E关于MN的对称点E‘,连E’F与MN的交点P,使EP+FP值最小.