关于整数系数多项式的证明 急 1.f(x),g(x),h(x)是整数系数的多项式 满足f(x)＝g(

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1、反证法：
（为表达方便,记a=b(mod c)表示a除以c余数为b,或者说a,b对于c同余）
(原本应该写作三杠的等号)
p是f(x)所有的系数的约数
=>f(x)可表示为
f(x)=ax^n+bx^(n-1)+.
=(a'*p)x^n+(b'*p)x^(n-1)+...
=p*(a'x^n+b'x^(n-1)+.)
其中a=a'*p,.且a'.皆为整数
=>f(x)=0(mod p)
假若题设结论不成立
即p不是g(x)也不是h(x)的所有系数的约数
=>g(x)无法表示为g(x)=p*g'(x)（g'中系数皆为整数）
(这一步若要更详细点,再用一次反正假设)
同样的h(x)也不可
=>g(x)=Gp不=0(mod p)以及h(x)=Hp不=0(mod p)
=>g(x)h(x)=Gp*Hp不=0（mod p）
（这一步乘法若需要更详细证明,可用(mp+Gp)*(np+Hp)展开来证）
这与f(x)=0(mod p)
矛盾=>题设结论正确
证毕2、这道题的原题可以等价的写作一个小定理：
“一个整系数多项式在有理数域上可约的充要条件是在整数域中可约”
1>充分条件很显然,只要把满足f(x)=g(x)h(x)的整数系数的h(x),g(x)
分别乘以r和1/r就可以得到有理数样式了
（具体的r视情况而定,
最简单的,比如取一个比所有系数都大的素数）
2>必要条件（就是本题所需的证明!）
根据题设,已存在有：
f(x)=g(x)h(x),g与h系数都是有理数
对于g（比如g(x)=2/3x+4/9）
设其系数分母公约数为q(比如对于上式,q=9)
则q*g(x)是一个整数系数多项式
(比如9*(2/3x+4/9)=6x+4是整数系数多项式)
将q*g(x)系数中的最大公约数p提出来(比如对于6x+4,p=2)
记作q/p*g(x)=g1(x)
(比如对于上式：9/2*(2/3x+4/9)=3x+2)
那么g1(x)为本原多项式（即系数皆为整数且互素）
简写为g(x)=m*g1(x)
同理,对于h(x),简写为
h(x)=n*h1(x)
(m,n皆为有理数)=>f(x)=h(x)*g(x)=mn*g1(x)*h1(x)其中g1(x)*h1(x)仍然是个本原多项式（“本原相乘亦本原”,反证法可以证明）现在证明mn为整数：设mn=a/b(a/b为最简有理式,即,a,b互素)由于f(x)=a/b*g1(x)*h1(x)为整数系数多项式=>b能整除a与[g1(x)*h1(x)]每一项系数的乘积又a,b互素=>b能整除[g1(x)*h1(x)]每一项系数由于[g1(x)*h1(x)]是个本原多项式（前已说明,易证!）即[g1(x)*h1(x)]的各项系数互素即最大公约数为1=>b=1=>f(x)=a/b*g1(x)*h1(x)=a*g1(x)*h1(x)显然将a乘入到g1或h1后就可以得到两个整数系数多项式也即整数系数多项式g(x),h(x）存在并满足f(x)＝g(x)h(x)证毕!（万一还有看不懂的,请再提出来）======以下答案可供参考======供参考答案1:1.f(x)=2x^2+4x+2 g(x)=x+1 h(x)=2x+2 p=2 结论不成立！ok3w_ads(s0063)