已知f(x)＝x2+bx+c为偶函数.曲线y＝f＝．的解析式,有斜率为0的切线.求实数a的

发布时间：2021-02-19 15:44:36

（本小题满分14分）已知f(x)＝x2＋bx＋c为偶函数，曲线y＝f(x)过点(2,5)，g(x)＝(x＋a)f(x)．(1)求f(x)的解析式；(2)若曲线y＝g(x)有斜率为0的切线，求实数a的取值范围；(3)若当x＝1时，函数y＝g(x)取得极值，确定y＝g(x)的单调区间．


网友回答

答案:

解：(1)∵f(x)为偶函数，∴b＝0.         …………………2分
又f(x)过(2,5)，∴4＋c＝5，得c＝1.
∴f(x)= x2＋1                               …………………4分
(2)又g(x)＝(x＋a)f(x)＝(x＋a)(x2＋1)＝x3＋ax2＋x＋a
由题意得g′(x)＝3x2＋2ax＋1＝0有解，
∴Δ＝4a2－12>0，得a>或a<－.            …………………9分
(3)由(1)知g′(x)＝3x2＋2ax＋1，由题意得g′(1)＝0，得a＝－2，经检验当a＝－2时，y＝g(x)取得极值符合题意，由g′(x)＝3x2－4x＋1>0，得x>1或x<，由g′(x)<0，得<x<1，
故g(x)的单调增区间为，(1，＋∞)，单调减区间为.   …………………14分

解析

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