如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O的弦AC相交于点D．（1）设弧BC的长为m1，弧OD的长为m2，求证：m1=2m2；（2）若BD与⊙O1相切，求证：

网友回答

证明：（1）连接OC，O1D．
∵∠COB=2∠CAB，∠DO1O=2∠DAO，
∴∠COB=∠DO1O记∠COD的度数为n，
则∠DO1O的度数也为n，
设⊙O1的半径为r，⊙O的半径为R，
由题意得，R=2r，
∴m1==2m2．

（2）连接OD，
∵BD是⊙O1的切线，
∴BD⊥O1D．
∴∠BDO1=90°．
而∴∠CBD+∠BDC=90°，∠ADO1=∠CBD，
又∵∠DAO1=∠ADO1，
∴∠DAO1=∠CBD，
∴△ACB∽△BCD
∴
∵AO是⊙O1的直径，
∴∠ADO=90°．
∴OD⊥AC．
∴D是AC的中点，即AC=2CD=2AD．
∴BC2=AC?CD=2AD2，
∴BC=AD．
解析分析：（1）连接OC，O1D，根据已知条件和圆心角与圆周角的关系可以得到弧BC，弧OD所对的弧的度数相同，根据弧长公司计算就可以证明结论；
（2）利用切线的性质和直径所对的圆周角是90°可以证明∠CBD=∠CAB，然后证明△ACB∽△BCD，再根据相似三角形的性质对应边成比例得到BC2=AC?CD，而OD⊥AC，据垂径定理知道D是AC的中点，这样就可以证明题目结论．

点评：此题主要利用了垂径定理，切线的性质定理，圆的弧长公式，利用它们构造相似三角形相似的条件，然后利用相似三角形的性质解决问题．