已知：如图，EF是矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线，EF与对角线AC及边AD、BC分别交于点O、E、F．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）如果FE=2ED，

网友回答

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠1=∠2．
∵EF垂直平分AC，
∴AO=CO，∠AOE=∠COF=90°，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF
∴四边形AFEC是平行四边形．
又EF⊥AC，
∴四边形AFEC是菱形；

（2）解：由（1）知：FE=2EO，
又∵FE=2ED，
∴EO=ED，
又EO⊥AC，ED⊥DC，
∴∠3=∠4，
由（1）知，四边形AFEC是菱形，
∴AE=EC，∠2=∠3，
∴∠2=∠3=∠4=∠BCD=30°
又∠D=90°，
∴EC=2ED
∴AE=2ED，即AE：ED=2：1=2．
解析分析：（1）要证四边形AFCE是菱形，只需通过定义证明四边相等即可．此题实际是对判定菱形的方法“对角形垂直平分的四边形为菱形”的证明；
（2）根据平行四边形的对角线互相平分知，FE=2EO，又∵FE=2ED，可证Rt△OEC≌Rt△DEC，
又∠D=90°，∴EC==2ED，∴AE=2ED，即AE：ED=2：1=2．

点评：本题利用了：1、中垂线的性质；2、矩形的性质；3、全等三角形的判定和性质；4、菱形的判定和性质；5、正弦的概念．